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Spannungsabfall über Verbindungen

Ich wähle mal das Beispiel eines Aufliegers mit der Länge von ca. 80cm und einer Breite von ca. 17cm. Dabei wurden die Spannungsabfälle der Zugmaschine ver-
nachlässigt.

Weitere Vorgaben:

U = 12V
L1 bis L4 = 12V / 70mA (Glühlampen)
Querschnitt der Leitungen = 0,22mm˛

Stellt man die Schaltung nun mit den Kontaktwiderständen der Steckkontakte (RStecker), den Leitungswiderständen (RLeitung), den Übergangswiderständen der Lötpunkte (RLöt) und den Widerständen der Lampen (RLampe) dar, sieht sie wie folgt aus.

Damit ergeben sich jetzt folgende Berechnungen.

Der Widerstand einer Glühlampe beträgt

RLampe = U / I = 12V / 70mA = 171,4Ω

Plus die Übergangswiderstände der zwei Lötstellen (Reihenschaltung)

Rr1 = Rr2 = Rr3 = Rr4 = RLampe + (2 · RLöt) = 171,4Ω + (2 · 0,1Ω) = 171,6Ω

Bei einer Vernachlässigung der Leitungen von den Zuleitungen zu den Lampen ergibt sich jeweils für zwei Lampen (Parallelschaltung) ein Gesamtwiderstand von

Rp1 = Rp2 = Rr1 / 2 = 171,6Ω / 2 = 85,81Ω

Der Widerstand einer Leitung berechnet sich mit folgender Formel

mit:
R = Leiterwiderstand in Ω
l = Leiterlänge in m
k = elektrische Leitfähigkeit für Kupfer (Kappa), 56 m / (Ω · mm˛)
A = Leiterquerschnitt in mm˛

Dabei handelt es sich aber um die Berechnung für eine einadrige Kupferleitung - keine Litze (!). Ich verwende aber wegen der besseren Verlegungsmöglichkeit (man kann sie den baulichen Gegebenheiten besser anpassen) und der geringe-
ren Bruchgefahr lieber die Litze. Wir wollen diese Rechnung aber trotzdem mal für einen späteren Vergleich durchführen.

Und somit berechnet sich der Widerstand der Zuleitung zu den Lampen wie folgt

RLeitung 1 = l / (k · A) = 1m / (56 · 0,22mm˛) = 81mΩ

Für die Zu- und Rückleitung ergibt sich somit ein Widerstand (Reihenschaltung) von

RLeitung 1/2 = RLeitung 1 · 2 = 81mΩ · 2 = 162mΩ

Laut der Tabelle auf der Hauptseite ergibt sich ein Wert von

RLeitung 1/2 = RTabelle 1 · l · 2 = 96mΩ/m · 1m · 2 = 192mΩ

mit dem wir jetzt auch wegen der realeren Verhältnisse weiter rechnen wollen.

Die gleiche Rechnung machen wir jetzt auch für die beiden 17cm langen Leitungen und erhalten

RLeitung 3/4 = 27,6mΩ

RLeitung 3/4 = 32,6mΩ (laut Tabellenwert)

Für den rechten Teil der Schaltung (Reihenschaltung) ergibt sich jetzt

Rgesamt 2 = RRp2 + RLeitung 3/4 = 85,81Ω + 32,6mΩ = 85,84Ω

Dieser Widerstand liegt nun parallel zu den Lampen 1/2 (Rp1).

Rgesamt 1 = (Rp1 · Rgesamt 2) / (Rp1 + Rgesamt 2) =
= (85,81Ω · 85,84Ω) / (85,81Ω + 85,84Ω) = 42,913Ω

Nun sind noch die Kontaktwiderstände der Leiterplatten-Steckverbinder zu berücksichtigen:

RStecker = 2 · 10mΩ = 20mΩ

Somit ergibt sich ein Gesamtwiderstand der Schaltung von

Rgesamt = RStecker + RLeitung 1/2 + Rgesamt 1 =
= 20mΩ + 192mΩ + 42,913Ω = 43,125Ω

und ein Strom in der Zuleitung von

Igesamt = U / Rgesamt = 12V / 43,125Ω = 278,3mA

Damit ergibt sich über der Teilschaltung Rr1 eine Spannung von

Ur1 = U - (Igesamt · (RStecker + RLeitung 1/2) =
= 12V - (278,3mA · (20mΩ + 192mΩ)) = 11,941V

ein Strom durch eine Lampe (1 oder 2) von

ILampe 1/2 = Ur1 / (2 · Rp1) = 11,941V / (2 · 85,81Ω) = 69,6mA

einer Spannung über den Lampen 1 und 2 von

ULampe 1/2 = Ur1 - (2 · RLöt · ILampe 1/2) =
= 11,941V - (2 · 0,1Ω · 69,6mA) = 11,927V

und einer realen Leistung der Lampe von

PLampe 1/2 = ULampe 1/2 · ILampe 1/2 = 11,927V · 69,6mA = 0,830W

Damit ergibt sich für die Lampen 1 und 2 ein Spannungsverlust von

Ua 12 = U - ULampe 1/2 = 12V - 11,927V = 0,073V
Ua 12% =  (Ua 1/2 / U) · 100% = (0,073V / 12V) · 100% = 0,608%

und einem Leistungsverlust von

Pa 12 = (ULampe · ILampe) - PLampe 1/2 = (12V · 70mA) - 0,830W = 0,010W
Pa 12 % = Pa 12 / (ULampe · ILampe) · 100% =
= 0,010W / (12V · 70mA) · 100% = 1,19%

Nun kommen wir zur Berechnung des rechten Teils der Schaltung.

Der Strom in den rechten Teil beträgt

I3  = Igesamt - (2 · ILampe 1/2) = 278,3mA - (2 · 69,6mA) = 139,1mA

Damit ergibt sich über der Teilschaltung Rr3 eine Spannung von

Ur3 = Ur1 - (RLeitung 3/4 · I3) = 11,941V - (32,6mΩ · 139,1mA) = 11,937V

ein Strom durch eine Lampe (3 oder 4) von

ILampe 3/4 = Ur3 / (2 · Rp2) = 11,937V / (2 · 85,81Ω) = 69,6mA

einer Spannung über den Lampen 3 und 4 von

ULampe 3/4 = Ur3 - (2 · RLöt · ILampe 3/4) =
= 11,937V - (2 · 0,1Ω · 69,6mA) = 11,923V

und einer realen Leistung der Lampe von

PLampe 3/4 = ULampe 3/4 · ILampe 3/4 = 11,923V · 69,6mA = 0,830W

Damit ergibt sich für die Lampen 1 und 2 ein Spannungsverlust von

Ua 34 = U - ULampe 3/4 = 12V - 11,923V = 0,077V
Ua 34% =  (Ua 3/4 / U) · 100% = (0,077V / 12V) · 100% = 0,642%

und einem Leistungsverlust von

Pa 34 = (ULampe · ILampe) - PLampe 3/4 = (12V · 70mA) - 0,830W = 0,010W
Pa 34 % = Pa 34 / (ULampe · ILampe) · 100% =
= 0,010W / (12V · 70mA) · 100% = 1,19%

Ein Vergleich der eben ausgeführten Rechnung mit unterschiedlichen Leitungs-
querschnitten mit etwas genaueren Werten (geringere Rundungsfehler):

Querschnitt 0,22mm˛ 0,14mm˛ 0,08mm˛
Spannung über Lampe 1 oder 2 11,927V 11,906V 11,850V
Spannungsverlust Lampe 1/2 0,073V 0,094V 0,150V
Spannungsverlust Lampe 1/2 0,608% 0,782% 1,253%
Strom durch Lampe 1 oder 2 0,0696A 0,0695A 0,0691A
Stromverlust durch Lampe 1 oder 2 0,0004A 0,0005A 0,0009A
Stromverlust durch Lampe 1 oder 2 0,608% 0,782% 1,253%
Leistung Lampe 1 oder 2 0,830W 0,827W 0,819W
Leistungsverlust Lampe 1 oder 2 0,010W 0,013W 0,021W
Leistungsverlust Lampe 1 oder 2 1,211% 1,559% 2,490%
Spannung über Lampe 3 oder 4 11,923V 11,900V 11,839V
Spannungsverlust Lampe 3/4 0,077V 0,100V 0,161V
Spannungsverlust Lampe 3/4 0,645% 0,835% 1,346%
Strom durch Lampe 3 oder 4 0,0695A 0,0694A 0,0691A
Stromverlust durch Lampe 3 oder 4 0,0005A 0,0006A 0,0009A
Stromverlust durch Lampe 3 oder 4 0,645% 0,835% 1,346%
Leistung Lampe 3 oder 4 0,829W 0,826W 0,818W
Leistungsverlust Lampe 3 oder 4 0,011W 0,014W 0,023W
Leistungsverlust Lampe 3 oder 4 1,287% 1,663% 2,673%

Man kann aus der Tabelle erkennen, dass die Verluste sich nur im geringen Pro-
zentbereich bewegen. Aber man muss ja nicht Probleme (zusätzliche Erwärmung) oder reduzierte Leistung durch zu dünne Leitungen, zu lange Leitungen oder un-
nütze / überflüssige Verbindungen provozieren.

Hätte man die Schaltung mit vier LEDs (1,6V; 20mA) und entsprechenden Vor-
widerstanden (es wurde dabei der theoretische Wert von 520Ω und nicht der real installierte Wert von 560Ω gewählt - wir wollen ja die Verluste über den Leitungen und Verbindungen vergleichen und nicht die Verluste über den Vor-
widerständen) ausgeführt, ergäben sich folgende Werte:

Querschnitt 0,22mm˛ 0,14mm˛ 0,08mm˛
Spannung über LED 1 oder 2 1,597V 1,596V 1,594V
Spannungsverlust LED 1/2 0,003V 0,004V 0,006V
Spannungsverlust LED 1/2 0,174% 0,225% 0,361%
Strom durch LED 1 oder 2 0,0200A 0,0200A 0,0199A
Stromverlust durch LED 1 oder 2 0,0000A 0,0000A 0,0001A
Stromverlust durch LED 1 oder 2 0,174% 0,225% 0,361%
Leistung LED 1 oder 2 0,0319W 0,0319W 0,0318W
Leistungsverlust LED 1 oder 2 0,0001W 0,0001W 0,0002W
Leistungsverlust LED 1 oder 2 0,348% 0,449% 0,721%
Spannung über LED 3 oder 4 1,597V 1,596V 1,594V
Spannungsverlust LED 3/4 0,003V 0,004V 0,006V
Spannungsverlust LED 3/4 0,185% 0,240% 0,388%
Strom durch LED 3 oder 4 0,0200A 0,0200A 0,0199A
Stromverlust durch LED 3 oder 4 0,0000A 0,0000A 0,0001A
Stromverlust durch LED 3 oder 4 0,185% 0,240% 0,388%
Leistung LED 3 oder 4 0,0319W 0,0318W 0,0318W
Leistungsverlust LED 3 oder 4 0,0001W 0,0002W 0,0002W
Leistungsverlust LED 3 oder 4 0,370% 0,479% 0,775%

Jetzt kann man schön die geringeren Verluste bei geringerer Last erkennen. Die Verluste verhalten sich ca. im Verhältnis der Lastenströme der einzelnen Leucht-
mittel (70mA / 20mA = 3,5).
Bedeutet: die Verluste bei den LEDs sind ca. um den Faktor 3,5 kleiner.

Der für mich noch wichtigere Punkt ist aber, dass die Leistungsaufnahme der gesamten Schaltung z.B. bei einem Leiterquerschnitt von 0,22mm˛ bei den

- Glühlampen 3,339W (Igesamt = 0,278A) und bei den
- LEDs nur 0,958W (Igesamt = 0,080A)  

beträgt. Bei der Benutzung von LEDs entlaste ich nämlich meine Akkumulatoren (in allgemeinen deutschen Sprachgebrauch auch Akkus genannt). Eine längere Nutzungsdauer oder Fahrzeit ist damit gewährleistet.

 

Erstellt am: 15.10.2007
Letzte Aktualisierung: 02.11.2007

 

 

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