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Spannungen

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Die Sinuswechselspannung

Die wohl bekannteste Spannungsform ist die Sinuswechselspannung. Jeder kennt sie aus der Steckdose mit einer Spannung von ehemals 220Veff und heute 230Veff und mit einer Frequenz von 50Hz.

Dazu ein paar grundlegende Formeln:

mit:
f = Frequenz in Hz Hertz oder in 1/s
T = Periodendauer in s   oder in ms
ω = Kreisfrequenz 1/s    
π = Pi     = 3,1416
t = Zeit in s   oder in ms
u = Augenblickswert der Spannung in V Volt oder in mV
û = Maximalwert der Spannung in V Volt oder in mV
U = Effektivwert der Spannung in V Volt oder in mV
i = Augenblickswert des Stromes in A Ampere oder in mA
î = Maximalwert des Stromes in A Ampere oder in mA
I = Effektivwert des Stromes in A Ampere oder in mA
φ = Phasenverschiebungswinkel in grad    

Das folgende Bild zeigt eine Spannung mit Ueff = 10V (û = 14,14V) in der allgemei-
nen Darstellung.

Die nächste Kurve zeigt dieselbe Spannung eines 50Hz-Netzes.
Die Periodendauer hat eine Länge von T = 1 / f = 1 / 50 = 0,020s = 20ms

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Die Fourier-Reihen

Jedes periodische Signal mit der Periodendauer T kann als Summe harmonischer Sig-
nale dargestellt werden. Dabei beträgt die niedrigste Frequenz = 1 / T. Alle anderen sind ganzzahlige Vielfache dieser Grundfrequenz (auch Grundschwingung genannt). Diese werden auch Harmonische oder Oberschwingungen genannt.

Ein Beispiel für ein Signal mit der Frequenz von 50Hz:
die Grundfrequenz beträgt 50Hz
die Oberschwingungen betragen dann 2 50Hz = 100Hz
  3 50Hz = 150Hz
  4 50Hz = 200Hz
  usw.

Damit zeigt sich, dass jede von der Sinusform abweichende Kurvenform mit Ober-
schwingungen behaftet ist und somit unter Umständen hochfrequente Störungen verursachen kann!

Bei den unten folgenden Formeln ist zu beachten, dass die Fourier-Reihen rein theo-
retisch bis ins unendliche (bis zu sehr hohen Werten der Oberschwingungen) laufen. Je mehr Oberschwingungen berücksichtigt werden, desto mehr nähert sich das ad-
dierte Signal aus festem Wert (wenn in der Gleichung vorhanden), Grundschwingung (wenn in der Gleichung vorhanden) und Oberschwingungen dem Originalsignal an.

Im Folgenden werden fünf ausgewählte Signale mit folgenden Vorgaben dargestellt:
û = 1V
f = 50Hz
Verhältnis der Ein- und Ausschaltzeit (auch Puls-Pausen-Verhältnis genannt) = 1 : 1

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Die Zweiweggleichrichtung einer Sinusspannung

Wie man im Folgenden sieht, ist selbst das Signal der Zweiweggleichrichtung einer Sinusspannung mit Oberschwingungen behaftet.

Die Formel:

Das Originalsignal:

Wegen der Auflösung werden bei den folgenden Signalen immer nur der feste Wert (wenn in der Gleichung vorhanden; in diesem Fall = 2 û / π), die Grundschwingung (wenn in der Gleichung vorhanden) und die ersten vier Oberschwingungen darge-
stellt.

Der feste Wert und die einzelnen Oberschwingungen:
fester Wert = 2 û / π gestrichelt    
sin 2ωt = sin 2 π 2f t 2 f = 2 50Hz = 100Hz  
sin 4ωt = sin 2 π 4f t 4 f = 4 50Hz = 200Hz  
sin 6ωt = sin 2 π 6f t 6 f = 6 50Hz = 300Hz  
sin 8ωt = sin 2 π 8f t 8 f = 8 50Hz = 400Hz  

Damit die Entstehung der Signale besser nachvollzogen werden kann, wird bei den folgenden Signalen immer nur das Signal dargestellt, das sich durch die Addition eines festen Wertes (wenn in der Gleichung vorhanden), der Grundschwingung (wenn in der Gleichung vorhanden) und der ersten acht Oberschwingungen ergibt.

Die Addition des festen Wertes und der Oberschwingungen (100Hz, 200Hz, 300Hz, 400Hz, 500Hz, 600Hz, 700Hz und 800Hz):

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Die Rechteckwechselspannung

Die Formel:

Das Originalsignal:

Die Grundschwingung und die einzelnen Oberschwingungen:
sin ωt = sin 2 π f t 1 f = 1 50Hz =  50Hz  
sin 3ωt = sin 2 π 3f t 3 f = 3 50Hz = 150Hz  
sin 5ωt = sin 2 π 5f t 5 f = 5 50Hz = 250Hz  
sin 7ωt = sin 2 π 7f t 7 f = 7 50Hz = 350Hz  
sin 9ωt = sin 2 π 9f t 9 f = 9 50Hz = 450Hz  

Die Addition der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwingungen (150Hz, 250Hz, 350Hz, 450Hz, 550Hz, 650Hz, 750Hz und 850Hz):

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Der Rechteckimpuls

Das folgende Signal entspricht im Prinzip dem Signal der Pulsweitenmodulation (PWM) bei einem Verhältnis der Ein- und Ausschaltzeit (auch Puls-Pausen-Verhält-
nis genannt) von 1 : 1.

Die Formel:

Das Originalsignal:

Der feste Wert, die Grundschwingung und die einzelnen Oberschwingungen:
fester Wert = û / 2 gestrichelt    
sin ωt = sin 2 π f t 1 f = 1 50Hz =  50Hz  
sin 3ωt = sin 2 π 3f t 3 f = 3 50Hz = 150Hz  
sin 5ωt = sin 2 π 5f t 5 f = 5 50Hz = 250Hz  
sin 7ωt = sin 2 π 7f t 7 f = 7 50Hz = 350Hz  
sin 9ωt = sin 2 π 9f t 9 f = 9 50Hz = 450Hz  

Die Addition des festen Wertes, der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwin-
gungen (150Hz, 250Hz, 350Hz, 450Hz, 550Hz, 650Hz, 750Hz und 850Hz):

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Die Dreieckwechselspannung

Die Formel:

Das Originalsignal:

Die Grundschwingung und die einzelnen Oberschwingungen:
sin ωt = sin 2 π f t 1 f = 1 50Hz =  50Hz  
sin 3ωt = sin 2 π 3f t 3 f = 3 50Hz = 150Hz  
sin 5ωt = sin 2 π 5f t 5 f = 5 50Hz = 250Hz  
sin 7ωt = sin 2 π 7f t 7 f = 7 50Hz = 350Hz  
sin 9ωt = sin 2 π 9f t 9 f = 9 50Hz = 450Hz  

Die Addition der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwingungen (150Hz, 250Hz, 350Hz, 450Hz, 550Hz, 650Hz, 750Hz und 850Hz):

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Die Sägezahnwechselspannung

Die Formel:

Das Originalsignal:

Die Grundschwingung und die einzelnen Oberschwingungen:
sin ωt = sin 2 π f t 1 f = 1 50Hz =  50Hz  
sin 2ωt = sin 2 π 2f t 2 f = 2 50Hz = 100Hz  
sin 3ωt = sin 2 π 3f t 3 f = 3 50Hz = 150Hz  
sin 4ωt = sin 2 π 4f t 4 f = 4 50Hz = 200Hz  
sin 5ωt = sin 2 π 5f t 5 f = 5 50Hz = 250Hz  

Die Addition der Grundschwingung (50Hz) und der Oberschwingungen (100Hz, 150Hz, 200Hz, 250Hz, 300Hz, 350Hz, 400Hz und 450Hz):

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Weitere Fourier-Reihen für andere Kurvenformen können in jeder guten mathema-
tischen Formelsammlungen gefunden werden.

 

Erstellt am: 10.04.2008
Letzte Aktualisierung: 10.04.2008

 

 

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